Ohmův zákon / Kirchhoffův zákon využívající lineární diferenciální rovnice prvního řádu

Ohmův zákon / Kirchhoffův zákon využívající lineární diferenciální rovnice prvního řádu

V tomto článku se pokusíme pochopit Ohmův zákon a Kirchhoffův zákon pomocí standardních technických vzorců a vysvětlení a použitím lineární diferenciální rovnice prvního řádu k řešení příkladových množin problémů.

Co je to elektrický obvod

Nejjednodušší elektrický obvod je obecně ve formě sériového obvodu, který má zdroj energie nebo vstup elektromotorické síly, například z baterie nebo generátoru stejnosměrného proudu, a odporovou zátěž, která spotřebovává tuto energii, například elektrickou žárovku, jak je znázorněno v níže uvedený diagram:





S odkazem na schéma, když je spínač sepnutý, proud prochází rezistorem, což způsobuje generování napětí přes rezistor. To znamená, že při měření budou rozdíly potenciálu ve dvou koncových bodech rezistoru vykazovat různé hodnoty. To lze potvrdit pomocí voltmetru.




Z výše vysvětlené situace lze standardní Ohmův zákon odvodit jako:

Pokles napětí ER na rezistoru je úměrný okamžitému proudu I a lze jej vyjádřit jako:

ER = RI (Rovnice # 1)

Ve výše uvedeném výrazu R je definována jako konstanta proporcionality a nazývá se odpor rezistoru.

Zde měříme napětí JE ve voltech odpor R v Ohmech a proudu v ampérech.

To vysvětluje Ohmův zákon v jeho nejzákladnější formě v jednoduchém elektrickém obvodu.
Ve složitějších obvodech jsou zahrnuty další dva základní prvky ve formě kondenzátorů a induktorů.

Co je to induktor

Induktor lze definovat jako prvek, který se staví proti změně proudu a vytváří účinek setrvačnosti v toku elektřiny, stejně jako hmota v mechanických systémech. Experimenty přinesly pro induktory následující:

Pokles napětí THE napříč induktorem je úměrná okamžité rychlosti změny proudu I. To lze vyjádřit jako:

EL = L dl / dt (Rovnice # 2)

kde L se stává konstantou proporcionality a označuje se jako indukčnost induktoru a měří se v henrys. Čas t je uveden v sekundách.



Co je to kondenzátor

Kondenzátor je jednoduše zařízení, které uchovává elektrickou energii. Experimenty nám umožňují získat následující vysvětlení:

Pokles napětí na kondenzátoru je úměrný okamžitému elektrickému náboji Q na kondenzátoru, což lze vyjádřit jako:

EC = 1 / C x Q (Rovnice # 3)

kde C je označován jako kapacita a měří se v farady poplatek Q se měří v Coulombs.

Nicméně od té doby I (C) = dQ / dt, můžeme napsat výše uvedenou rovnici jako:



Hodnota proudu To) lze vyřešit v daném obvodu řešením rovnice vytvořené použitím následujícího fyzikálního zákona:



Porozumění Kirchhoffovu zákonu (KVL)

Gustav Robert Kirchhoff (1824-1887) byl německý fyzik, jeho populární zákony lze chápat takto:

Kirchhoffův současný zákon (KCL) stanoví, že:

V kterémkoli bodě obvodu se součet přítokových proudů rovná součtu odcházejícího proudu.

Kirchhoffův zákon o napětí (KVL) uvádí, že:

Algebraický součet všech okamžitých poklesů napětí kolem kterékoli uzavřené smyčky je nula, nebo napětí působící na uzavřenou smyčku se rovná součtu poklesů napětí ve zbytku smyčky.

Příklad č. 1: S odkazem na RL diagram níže a kombinací rovnice # 1,2 a Kirchhoffova napětí jsme schopni odvodit následující výraz:

Rovnice: 4



Uvažujme tento případ A s konstantní elektromotorickou silou:



Ve výše popsané rovnici # 4, pokud E = E0 = konstanta, jsme schopni řídit následující rovnici:

Rovnice: 5

Zde se poslední člen blíží nule jako t má tendenci postupovat do nekonečna, takového To) má sklon k mezní hodnotě E0 / R. Po adekvátně dlouhém zpoždění se dostanu na prakticky konstantní hodnotu, bez závislosti na hodnotě c, což také znamená, že to bude nezávislé na počáteční podmínce, kterou můžeme vynutit.

Vzhledem k počáteční podmínce I (0) = 0 dostaneme:

Rovnice: 5 *




Případ B (periodická elektromotorická síla):




S ohledem na E (t) = Eo sin ωt, poté zohledněním rovnice # 4 lze obecné řešení pro případ B zapsat jako:
(∝ = R / L)


Integrace po částech nám dává:





To lze dále odvodit jako:
ઠ = oblouku do ωL / R

Zde má exponenciální člen tendenci se blížit k nule, protože t má sklon k nekonečnu. To znamená, že jakmile uplyne dostatečně dlouhé časové období, proud I (t) dosáhne prakticky harmonických oscilací.




Předchozí: Co je to saturace tranzistoru Další: Analýza zatížení v obvodech BJT